Turunan Fungsi

TUGAS KAPITA SELEKTA MATEMATIKA 2

TURUNAN FUNGSI

Dosen Pengampu : Sofri Rizka Amalia, M.Pd.

Disusun Oleh:

Eliza Ulva Sari                       40315003

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PERADABAN

2016/2017

TURUNAN FUNGSI

A.    Turunan Fungsi

1.   Laju Perubahan Nilai Fungsi

Laju perubahan suatu fungsi dibedakan menjadi dua ,yaitu laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat.

a.    Laju Perubahan Rata-Rata

Jika diketahui suatu fungsi y = f(x) maka laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) pada interval  dirumuskan dengan  .

Contoh :

Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x² + 5x + 3 dengan daerah asal  = {x|x .

Jika -2  tentukan laju perubahan rata-rata fungsi f(x) terhadap x.

Penyelesaian:

f(x) = 2x² + 5x + 3

untuk x = -2  maka f(-2) = 2(-2)² + 5(-2) + 3 = 1

untuk x = 3 maka f(3) = 2(3)² + 5(3) + 3 = 36

 

Jadi, laju perubahan rata-rata fungsi f(x) adalah 7.

b.   Laju Perubahan Sesaat

Laju perubahan sesaat suatu fungsi y = f(x) adalah laju perubahan yang sesaat, artinya perubahan pada interval  Jika h mendekati nol maka laju perubahan sesaat fungsi y = f(x) dirumuskan sebagai   dengan catatan nilai limitnya ada.

Contoh:

Diketahui suatu persegi panjang dengan panjang 5x cm dan lebar 2x cm. tentukan perubahan luas persegi panjang terhadap panjang sisi x ketika x = 4 cm

Penyelesaian:

Luas persegi panjang = L = p . l = 5x  . 2x = 10x²

Luas perubahan sesaat L = f(x) adalah:

 

 

 =80+0 

 =80

2.   Pengertian Turunan Fungsi

Turunan/diferensial suatu fungsi y = f(x) terhadap x dapat diartikan sebagai laju perubahan fungsi terhadap suatu variabel bebas x. yang dinotasikan dengan  Jika fungsi y = f(x) terdefinisi dalam interval/daerah asal  = {x|x  maka turunan fungsi f(x) terhadap x ditentukan oleh  , dengan catatan nilai limitnya ada.

Contoh :

1.      Diketahui y = 4x + 1, tentukan

Penyelesaian:

 

 

 

 

 

       

         = 4

jadi,

2.      Diketahui y = 2x - 3x .

a.       Tentukan        y'                            b. Hitunglah f '(-2)

Penyelesaian:

a.      

= 

=

=

=

= 2-6x

Jadi,

B.     Menentukan Turunan Fungsi

1.      Turunan Fungsi Aljabar

Ø  Turunan beberapa bentuk fungsi aljabar

· 

· 

·  

·  

Ø  Turunan hasil kali fungsi

·   Dua Fungsi:=

·   Tiga Fungsi:=

Ø  Turunan hasil bagi fungsi

·    

Ø  Turunan fungsi berpangkat

·     

Contoh:

a.   Tentukan turunan dari fungsi aljabar berikut.

1.      f(x) = 6x-5

penyelesaian:

	y'

2.      y = (x²+3x )(x+2)

penyelesaian:

 

 

Latihan Soal

1.   Turunan pertama dari y = (x²-1)(x³+ 4) adalah…

2.      Turunan Fungsi Trigonometri

·      Jika f(x)= sin x maka f '(x)= cos x

·      Jika f(x)= cos x maka

·      Jika f(x)= tan x maka

·      Jika f(x)= cotan x maka

·      Jika f(x)= sec x maka

·      Jika f(x)= cosec x maka f ' (x)= + cotan x

Contoh:

Tentukan turunan dari fungsi trigonometri berikut:

a.       y = 3 cos x                             b. y = 2 sin x – 4 tan x

penyelesaian :

a.       y = 3 cos x                                  

b.      y = 2 sin x – 4 tan x

Latihan soal

1.      tentukan turunan dari

a.      f (x) = x². sin x

b.      f(x) = sin 5x + cos 6x – sin 3x

         Gradien Garis Singgung

Gradient garis singgung dititik (x, y) pada y = f (x) dapat dinotasikan dengan 

M = y'= f (x)

 

                          

Contoh :

1.      Tentukan gradient garis singgung pada kurva y = x²- 6x + 9 pada titik (1,4)

Penyelesaian :

y = x²- 6x + 9

y'= 2x – 6

gradient (m) pada titik (1,4) adalah

m = 2x – 6

m = 2 (1) – 6

m= 2- 6

m= -4

 

               latihan soal

1.          Tentukan m garis singgung pada kurva berikut

a.         y = (x-3)(x+2) dititik (3,0)

b.         y = x³+2x-1 dititik (1,2)

c.          y =  dititik (4,2)

3.      Persamaan Garis Singgung

Diketahui fungsi y = f(x) mempunyai turunan pada x = a, secara geometris, turunan fungsi f(x) pada x = a atau f ' (x) dapat ditafsirkan sebagai gradient garis singgung kurva di titik (a,f(a)). Persamaan garis singgung pada kurva dititik (a,f(a)) dirumuskan sebagai :

y- f(a)= m (x-a)

                

Contoh :

1.      Tentukan persamaan garis singgung kurva y= 2x²+3 pada titik yang berabsis 1

      Penyelesaian :

 y = 2x² + 3

untuk x =1 maka y = 2.1² + 3 = 2 + 3 = 5

diperoleh titik singgung (x1,y1) = (1,5)

m = y ' = 4x

untuk x = 1 maka m = 4.1=4

persamaaan garis singgung kurva dititik (1,5) dirumuskan :

y - y1  =  m ( x - x1 )

y - 5 = 4 (x - 1)

y – 5 = 4x – 4

y       = 4x – 4 + 5

y       = 4x +1

jadi, persamaan garis singgung adalah y = 4x – 1.

 Rumus umum persamaan garis singgung  adalah y – y1= m (x-x1).

Ø  Persamaan garis singgung sejajar maka m1 = m2

Ø  Persamaan garis singgung saling tegak lurus m1 . m2 = -1

Contoh :

1.   Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x²-2x+3 dititik (-1, 2) dan (2, 0)

Penyelesaian :

·      Untuk titik (-1, 2) diperoleh dengan persamaan y = x² - 2x + 3 dengan

y' = 2x – 2.

     y' = 2x – 2   m = 2(-1) – 2 = -2 -2 = 4

maka persamaan garis singgungnya adalah

y – y1= m (x-x1)

y- 2   = -4 (x- (-1))

y-2    = -4 (x+1)

y-2   = -4x – 4

y      = -4x – 4 + 2

y     =  -4x – 2

jadi persamaan garis singgung dititik (-1 , 2) adalah   y  =  -4x – 2

·      Untuk titik (2,0) diperoleh dengan persamaan y = x² - 2x + 3 dengan

y' = 2x – 2.

y' = 2x – 2  m = 2 (2) – 2 = 4 – 2 = 2

maka persamaan garis singgungnya adalah

 y – y1= m (x - x1 )

y – 0 = 2 ( x – 2 )

y – 0 = 2x – 4

y       = 2x – 4 – 0

y       = 2x – 4

jadi persamaan garis singgung dititik (2 , 0) adalah  y  = 2x – 4

                      

Latihan Soal

1.      Garis singgung kurva y = x³ - 3x – 8 dititiik P sejajar dengan garis 9x – y = 7.

a.      Tentukan koordinat titik P yang mungkin

b.      Tentukan persamaan garis singung titik P

4.      Fungsi Naik Dan Fungsi Turun

Ø  Jika f ' (x)  maka f (x) dikatakan naik

Ø  Jika f ' (x)  maka f (x) dikatakan turun

Contoh :

1.      Carilah interval dimana fungsi f (x) yang ditentukan oleh f (x) = 2 + x² -  x³

a. Naik

b.Turun

jadi interval fungsi naik adalah 0

Latihan Soal

1.   Tentukan interval fungsi  x³ + 2x²- 5x+1 ( naik)

5.      Nilai Stasioner dan Titik Stasioner

Fungsi y = f(x) mempunyai titik stasioner (titik ekstrem) dititik x = a jika f '(x) = 0 dan nilai stasionernya y = f (a). Berikut syarat menentukan jenis-jenis titik stasioner dititik x = a.

a.       Titik balik minimum f ' (a) = 0 dan f ''(a)

b.      Titik ballik maksimum jika f ' (a) = 0 dan f ''(a)

Contoh:

1.      Tentukan koordinat titik balik dari kurva f (x) = x³ + 9x² + 15x

Penyelesaian :

f(x) = x³ + 9x² + 15x

f '(x) = 3x² + 18x + 15

f ''(x) = 6x + 18

syarat mempunyai titik stasioner adalah f '(x) = 0

3x² + 18x + 15 = 0

x² + x + 5 = 0

( x + 1) ( x + 5) = 0

x = -1 , x = -5

untuk x = -1 maka :

f ''(-1) = 6 (-1) + 18 =  12

f(-1) = (-1)² + 9(-1)² + 15(-1) = -7

untuk x = -5 maka :

f ''(-5) = 6 (-5) + 18 = -12

f(-5) = (-5)³ + 9 (-5)² + 15 (-5) = 25

jadi koordinat titik balik maksimum adalah (-5, 25)

koordinat titik balik minimum adalah (-1, -7).

Latihan Soal

1.      Diketahui f (x) = x³ - 4x + 3 tentukan nilai stasionernya

6.      Nilai Maksimum dan Minimum pada Interval Tertutup

Untuk menentukan nilai minimum dan maksimum pada interval tertutup harus ditentukan terlebih dahulu nilai y = f(x) diujung-ujung interval dan nilai stasionernya.

Contoh :

1.      Tentukan nilai maksimum dan minimum dari grafik fungsi y = 2x³ - 6x dalam interval {x }.

Penyelesaian :

Nilai y = f (x) pada ujung-ujung interval :

f(-2) = 2 . (-2)³ - 6 . (-2) = -16 + 12 = -4

f(3) = 2. 3³ - 6 . 3 = 54 – 18 = 36

syarat nilai stasioner adalah f '(x) = 0

6x² - 6 = 0

 6x²     = 0

x²        = 1

x          = 1

jenis titik stasioner :

f ''(x) = 12x

untuk x = -1 maka f ''(-1) = 12 . (-1) = -12

f(-1) = 2 . (-1)³ - 6 . (-1) = -2 + 6 = 4

untuk x = 1 maka f ''(1) = 12 . 1 = 12

f (1) = 2 . (1)³ - 6 . (1) = 2 – 6 = -4

7.      Aplikasi Turunan Fungsi

1.      Masalah yang Berkaitan dengan Maksimum dan Minimum Fungsi

Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan permasalahan yang berkaitan maksimum atau minimum fungsi.

a.       Merumuskan fungsi yang akan dimaksimalkan atau diminimumkan dalam satu variabel

b.      Menentukan maksimum/minimum dari fungsi yang diperoleh pada langkah 1.

c.       Menafsirkan penyelesaiann yang diperoleh.

Contoh :

1.      Tinggi h meter suatu roket setelah t detik adalah h(t) = 320t – 2t². tentukan tinggi maksimum roket tersebut .

penyelesaian :

h(t) = 320t – 2t²

agar tinggi maksimum maka :

h'(t)= 0

320 – 4t = 0

4t    = 320

t     = 80

Untuk t = 80 maka :

h(80)     = 320 . 80 – 2 . 80²

= 320 . 80 – 2 . 6.400

= 25.600 – 12.800

= 12.800

Jadi, tinggi maksimum roket pada saat 80 detik adalah 12.800 meter.

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo,sartono.2006. Matematika Untuk SMA kelas XI.Jakarta:Erlangga

Purcell, E.j, Varberg, D.2005. Kalkulus 1 jilid1. Edisi kedelapan. Jakarta: Erlangga